第0080章 欧拉乘积公式

　　“什么是黎曼猜想呢？”

　　“在我发表《黎曼的猫》前，相信很多人都没法回答这个问题，也有很多人试图了解这个问题，这也说明了，我的小说还是有点科普价值的。”

　　“先不谈黎曼猜想，我们还是先说说黎曼猜想的背景吧，那么，她的背景是什么呢？”

　　“简而言之，就是质数的分布问题，那么，什么又是质数呢？”

　　“质数的分布规律是什么？我们能不能写出质数的通项公式？”

　　“和质数相关的猜想都有哪些？哥德巴赫猜想和孪生质数猜想，为什么到现在还只是猜想？”

　　“我们又是怎么研究质数分布的呢？”

　　几句开场白之后，田立心便连续提出了几个问题，随后又深入浅出地将这些问题一一回答，并不时在黑板上板起书来。

　　台下的吕教授听着他娓娓道来，脸色却已经发白了。

　　这小子是真有水平的，就凭着这几分钟的演讲，看着就不比一个高中老师差啊。

　　他真是一个高中生？

　　吕教授身旁的老师也是不时点头，后面的学生们则陷入了思考。

　　偌大的教室渐渐安静了下来，只剩下田立心的声音通过麦克风在回荡着。

　　“接下来我们要讲的是欧拉，他是瑞士人，出生于1707年，是最伟大的数学家，这么说或许会有点争议，但说他是十八世纪最伟大的数学家，肯定是没人有异议的，他同时也是数学界公认的四大家之一，与之齐名的分别是阿基米德、牛顿和高斯。”

　　“欧拉十三岁考入大学，读的是哲学和法律，到十六岁时就拿到了哲学的硕士学位，二十岁拿到了物理学博士学位，之后，他就将大部分精力放到了数学研究上，带他入门的老师，正是当时欧洲最伟大的数学家约翰.伯努利，而在这一年，牛顿去世了。”

　　“欧拉是伟大的数学家，更是将数学推至物理领域的第一人。他是史上最多产的数学家，平均每年能写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。”

　　“用著作等身来形容欧拉是恰如其分的，他在短短的一生中就写了八百多本书，从二十岁开始，每年平均差不多写十五本，而我们用到的与他有关的公式有哪些呢？查一下数学和物理教科书的索引就能找到答案了：欧拉角（刚体运动）、欧拉常数（无穷级数）、欧拉方程（流体动力学）、欧拉公式（复合变量）、欧拉多角曲线（微分方程）、欧拉齐性函数定理（摘微分方程）、欧拉变换（无穷级数）、伯努利-欧拉定律（弹性力学）、欧拉—傅里叶公式（三角函数）、欧拉-拉格朗日方程（变分学，力学）以及欧拉-马克劳林公式（数字法），而这，仅仅只是较为重要的一部分。”

　　田立心说到这，安静的教室中响起了窃窃私语。

　　“欧拉也太牛了吧，十三岁上大学，二十岁获得博士学位，而这只是他的开始。”

　　“以前都没怎么注意过他，想不到这么牛。”

　　“每年八百页论文，要是都投给sci，编辑们都看不过来啊。”

　　“八百本书，我一辈子都看不完啊，我还是转系算了。”

　　……

　　田立心将刚才列举出来的公式擦去，又在黑板上写了一个公式，正是费马定理。

　　“有人能认出这个方程吧？这是十七世纪的数学家费马写下的公式，当时还叫费马猜想，直到三百年后，也就是五年前才由英国的数学家证明出来，这个公式就此成了费马大定理。为什么将这个公式写出来呢？因为这个猜想与数论的形成息息相关，而数学王子高斯也说过，‘数学是自然科学之母，而数论是数学之根’，由此可见，数论的难度和在数学中的地位有多高了。而欧拉，是唯一一个在十八世纪对费马猜想有所突破的数学家，他证明了n=3的情况下，这个猜想是成立的。”

　　“欧拉是解析数论的奠基人，他提出了欧拉恒等式，也叫欧拉公式，建立了数论和分析之间的联系，从此就可以用微积分研究数论了。后来，高斯的学生黎曼，将欧拉恒等式推广到复数，就此提出了黎曼猜想。”

　　“欧拉恒等式是数学中最令人着迷的公式之一，它将数学中最重要的几个常数联系到了一起。包括e、π、i和1，还有数学中最常见的0。因此，数学家们评价它是上帝创造的公式，我们只能看而不能理解它。’”

　　“再回到一开始提出的问题，我们到底是怎么研究质数分布的？大家可能想到了，正是伟大的欧拉为我们找到了一个基本工具，也就是著名的欧拉乘积公式。”

　　1+1/2s+1/3s+…+1/ns+…=[1/(1-1/2s)]×[1/(1-1/3s)]×[1/(1-1/5s)]×…×[1/(1-1/ps)]×…

　　田立心顺手将这个公式写在黑板上，“为了节约篇幅，我们经常用大写的希腊字母Σ表示求和，用大写的希腊字母Π表示连乘。此外，我们初中时就学过指数为负的乘方是什么意思，a的-b次方等于a的b次方的倒数，即1除以a的b次方。因此，我们也可以将欧拉乘积公式简写成下面的式子。”

　　Σnn-s=Πp(1-p-s)-1。

　　田立心又将欧拉乘积公式的简写方式写出来，“这个公式是怎么推导出来的呢？我们来推导一下。”

　　A=Σnf(n)=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+…

　　B=Πp[1-f(p)]-1

　　f(n)=n-s

　　f(m)f(n)=m-sn-s=(mn)-s=f(mn)。

　　f(2)A=f(2)+f(4)+f(6)+f(8)…+f(2n)+…=Σnf(2n)。

　　A[1-f(2)]=f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+…+f(2n-1)+…

　　A[1-f(2)][1-f(3)]=f(1)+f(5)+f(7)+f(11)+…

　　A[1-f(2)][1-f(3)][1-f(5)]=f(1)+f(7)+f(11)+f(13)+…

　　AΠp[1-f(p)]=f(1)=1

　　Σnn-s  =Πp(1-p-s)-1

　　（PS：感谢书友幻鱼、山在海外、sgsnk、仙门剑诀、鬼在画符、木的自由源、不存在的理想人生等各位同学的推荐，感谢山在海外同学的打赏。

　　另外，为什么明明已经是更新了30天3000字，这传说中的成就却迟迟不见出现呢？作者表示一头黑人问号，莫不是被系统吞了？

　　最后的最后，继续求各位同学的收藏和推荐：））


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